线性代数的n维向量空间那部分有个问难问大家

Question

————A是两组空间向量的基的过度矩阵，书上说A具有如下性质：由于基是线性无关的，因而A是可逆矩阵。为啥啊？？？不明白怎么就能够判断A这个过度矩阵是可逆矩阵了？大家都知道判断可逆矩阵的条件是A的行列式值不等于零，这里该如何判断？

Answer 1

n阶方阵Q可逆的充要条件有
1) |Q|≠0
2) R(Q)=n (秩)
3) Q的行向量组或列向量组线性无关
4) 齐次方程组Qx=0只有零解
5) 存在n阶方阵B, 使BQ=QB=E (单位阵)

在这里可以用2)的方法来证明,如下:

向量空间V , 维度dimS=n , V的两组基A,B
基底必然线性无关 , 即 R(A)=R(B)=n
设变换矩阵为Q , 即B=AQ , 且Q为n阶方阵 , 则R(Q)≤n
所以由B=AQ知 : R(B)≤min{R(A),R(Q)}= min{n,R(Q)}=R(Q)
即R(Q)≥R(B)=n
又R(Q)≤n
所以R(Q)=n , 即Q满秩 , 方阵Q满秩即说明|Q|≠0 , 即可逆

Answer 2

设{a_1,a_2,...,a_n}，{b_1,b_2,...,b_n}是V的两组基，从{a_1,a_2,...,a_n}到{b_1,b_2,...,b_n}的过渡矩阵是A。
我们知道对V中任意向量α,都可由V的任意组基唯一线性表示，表示的系数即坐标向量。设α在基{a_1,a_2,...,a_n}下的坐标向量是X，在基{b_1,b_2,...,b_n}下的坐标向量是Y，则Y=AX。
这说明，对任意的向量Y，AX=Y都有唯一解，因此A是可逆矩阵。

Answer 3

线性无关，那么为满秩矩阵，那么行列式当然不为0,
所以为可逆矩阵。

Answer 4

\A\不等于零，所以可逆