求向量组a1=(1,0,1,0),a2=(-2,1,3,-7),a3=(3,-1,0,3),a4=(-4,1,-3,1) 的秩和一个最大线性无关组

Question

再求一下其余向量用极大线性无关组线性表示

Answer 1

1 -2 3 -4，0 1 -1 1，1 3 0 -3，0 -7 3 1，经初等行变换化为，1 0 0 0，0 1 0 -1，0 0 1 -2，0 0 0 0，向量组的秩为3，a1,a2,a3 是一个极大无关组，a4 = -a2 -2a3。

最大线性无关组也称为极大线性无关组，是代数中线性相关与线性无关中的基本概念。极大线性无关组表示一组向量中，由最多个线性无关的向量组成的部分，并且从这一向量组中任意添一向量，这个部分组就线性相关。

还要指出：含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组。全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组，规定这样的向量组的秩为零。

定义

向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

因为线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。

我们知道，每一向量组都与它的极大线性无关组等价。由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价。所以，等价的向量组必有相同的秩。

Answer 2

1 -2 3 -4
0 1 -1 1
1 3 0 -3
0 -7 3 1

经初等行变换化为
1 0 0 0
0 1 0 -1
0 0 1 -2
0 0 0 0
向量组的秩为3
a1,a2,a3 是一个极大无关组
a4 = -a2 -2a3