3.
利用第二类
换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式
x
=
φ(t)。两边对自变量微分得dx=φ’(t)dt.
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有
根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令
t
=√(ax+b）；
（2）三角代换：利用
三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令
x
=
asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令
x
=
atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令
x
=
asect
注：记住
三角形示意图可为变量还原提供方便。
还有几种代换形式：
（3）倒代换（即令
x
=
1/t）：设m,n
分别为被积函数的分子、
分母关于x
的最高次数，当
n-m＞1时，用倒代换可望成功；
（4）指数代换：适用于被积函数由指数
a^x
所构成的
代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令
t
=
tan(x/2)