已知二次函数f(x)=ax²+bx+c.

Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c.
(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)必有两个零点。
(2)若对x1、x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2),方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)

Answer 1

【1】
a+b+c=0, b²-4ac=a²+C²+2ac-4ac=a²+c²-2ac=(a-c)²,
a＞b＞c, a>c,,a-c>0,(a-c)²>0,
b²-4ac>0,所以，f（x）必有两个零点。

【2】
设：g(x)=f(x)－[f(x1)＋f(x2)]/2
则：g(x1)=[f(x1)－f(x2)]/2、g(x2)=[f(x2)－f(x1)]/2
因为f(x1)≠f(x2)，则：[g(x1)]×[g(x2)]<0
即g(x)=0的根在(x1，x2)内，则：
f(x)=[f(x1)＋f(x2)]/2的根在区间(x1，x2)内。

Answer 2

【1】
f(1)=a＋b＋c=0，因为;a>b>c，则：a>0且c<0
则判别式△=b²－4ac=(－a－c)²－4ac=a²＋2ac＋c²－4ac=(a－c)²>0
则函数与x轴有两个不同交点

【2】
设：g(x)=f(x)－[f(x1)＋f(x2)]/2
则：g(x1)=[f(x1)－f(x2)]/2、g(x2)=[f(x2)－f(x1)]/2
因为f(x1)≠f(x2)，则：[g(x1)]×[g(x2)]<0
即g(x)=0的根在(x1，x2)内，则：
f(x)=[f(x1)＋f(x2)]/2的根在区间(x1，x2)内。

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