已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)【题干】

Question

1.若a＞b＞c，且f(1)=0,证明：f(x)的图像与x轴有2个交点；
2.若常数（X1,X2）∈R，且X1＜X2，f(X1)≠f(X2),求证：方程f(x)=½[f（X1）+f(X2)]必有一根属于（X1，X2）.

Answer 1

1、∵f（1）=0
∴a+b+c=0
∵a＞b＞c
∴a>0,c<0
∴ac<0,-ac>0
∴Δ=b^2-4ac=b^2+(-4ac)>0
∴f（x）的图像与x轴有两个相异的交点

2、∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)＜f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知，A1＜A＜A2.

构造函数g(x)=f(x)-A. (x1＜x＜x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A＜0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A＞0.

∴由“零点存在定理”可知，
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.

∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在（x1,x2)内必有一实数根。