一道高数极限题，希望得到解答

Question

lim(n->∞) ∫(0-1) (x^n*e^x)/(1+e^x)dx=?

Answer 1

记fn(x)=(x^n*e^x)/(1+e^x)=x^n(1-1/(1+e^x)),关于x递增。在0等于0,1处等于e^x/(1+e^x)<1
对一切e>0
积分分为0~1-e/2 以及1-e/2~1两段区域的积分；
后一段积分由于被积函数小于1，所以积分小于e/2
关键在前一段；
由于f(x),当0<=x<1并固定时候，极限为0（n趋于正无穷）
所以fn(1-e/2)->0。
那么存在N，对所有n>N，有fn(1-e/2)<e/2.
注意到fn的递增性，对0<=x<=1-e/2,都有fn(x)<e/2；
所以第一段积分<e/2*(1-e/2)<e/2, 对n>N成立。
所以：
0<=积分<e/2+e/2=e;
所以积分收敛于0；