高数，求幂级数的

Question

求过程，谢谢

Answer 1

先将f(t)从1到x积分，得到
∫(1,x)f(t)dt＝∫(1,x)1/t^2 dt＝-1/t|(1,x)＝1-1/x
＝1+1/[1-(x+1)]＝1+∑(n＝0,∞)(x+1)^n.
即
∫(1,x)f(t)dt＝1+∑(n＝0,∞)(x+1)^n. ①
①式两边同时对x求导，得
f(x)＝∑(n＝1,∞) n(x+1)^(n-1), x∈(0,2).
注：最后的展开式成立范围x∈(0,2)由解不等式 |x+1|＜1得到，而之所以解不等式|x+1|＜1，是因为利用了展开式
1/[1-(x+1)] ＝∑(n＝0,∞)(x+1)^n，
而该展开式成立的范围是|x+1|＜1.

Answer 2

可考虑函数 f(t) = 1/(1+t)²（其中，t=x-1）的幂级数展开式，实际上只需对 g(t) = 1/(1+t) 的幂级数展开式积分即可得到。

Answer 3

设g(x)=-1/x=-1/[(x+1)-1]=1/[1-(x+1)]=∑[n:0→∞](x+1)^n (-2<x<0)
上面用到的公式是 1/(1-x)=∑x^n (-1<x<1)
而f(x)=g'(x)=)]=∑[n:0→∞]n(x+1)^(n-1) (-2<x<0)

Answer 4

Answer 5

f(x) =-1/x^2, => f(-1)= -1
f'(x) =2/x^3, => f'(-1)/1!= -2
f''(x) =-6/x^4, => f''(-1)/2!= -3
f^(n)(x) = (-1)^(n+1). (n+1)!/x^(n+2), => f^(n)(-1)/n!= -(n+1)
=>
-1/x^2
=-1 -2(x+1)- 3(x+1)^2-...-(n+1)(x+1)^n-.......