高数题目求解~

Question

∞
求幂级数的收敛域：∑{(X^n)/[(2^n)*n!] }
n=1
求级数在收敛区间的和函数：
（1）. ∞
∑[X^(4n+1)]/(4n+1) ，（-1<X<1）
n=1
∞
（2）.∑(X^n)/[n*(n+1)]
n=1

Answer 1

1.求幂级数的收敛域：∑{(X^n)/[(2^n)*n!] }
解：p=lim(n趋于无穷大)[(2^n)*n!]/[(2^(n+1))*(n+1)!]=1/2(n+1)=0
所以收敛半径R=1/p=无穷大，所以收敛域为(-无穷，+无穷)
2.求级数在收敛区间的和函数：
（1） ∑[X^(4n+1)]/(4n+1) ，（-1<X<1）
解：令S(x)=∑[X^(4n+1)]/(4n+1),
则S'(x)=∑[X^4n]=x^4+x^8+......=x^4/(1-x^4)
所以S(x)=∫(0为下限x为上限)[x^4/(1-x^4)]dx=∫[1-1/(1-x^4]=x-0.5∫[1/(1-x^2)+1/(1+x^2)]dx
=x-0.5arctanx-0.25∫[1/(1+x)+1/(1-x)]dx=x-0.5arctanx-0.25ln[(1+x)/(1-x)]
（2）.∑(X^n)/[n*(n+1)]
解：令S(x)=∑(X^n)/[n*(n+1)]
则xS(x)=∑(X^(n+1)/[n*(n+1)]
则[xS(x)]'=∑X^n/n
[xS(x)]''=∑X^(n-1)=1+x+x^2+.....=1/(1-x) ，（-1<X<1）
对2边积分，有：
[xS(x)]'=-ln(1-x)
xS(x)=∫(0为下限x为上限)[-ln(1-x)]dx=-xln(1-x)-∫x/(1-x)dx=-xln(1-x)-∫[1/(1-x)-1]dx
=-xln(1-x)+x+ln(1-x)
所以S(x)=-ln(1-x)+1+1/x*ln(1-x)

Answer 2

第一题，用定义当然能做，可这不就是嘛e^(x/2)，直接写出收敛域为R。
第二题，令原函数=f(x)，f'(x)=x^(4n)=1/(1-x^4)，f(x)=1/2 arctan x + 1/4 ln((1+x)/(1-x))。
第三题，同样，对xf(x)求两次导得1/(1-x)，故f(x)=(x-1)/x ln(1-x)-1。