求此图形s绕y轴旋转一周所得旋转体的体积 ？

Question

过曲线y=x^2/2(x>=0)某点作切线，与曲线及x轴所围图形s面积为1/3

Answer 1

解：设曲线上该点为(x0,x0^2/2)。y'=1/2*2x=x，故过该点的切线方程为y-x0^2/2=x0*(x-x0)，得x=y/x0-x0/2+x0=y/x0+x0/2。
由切线与曲线及x轴所围图形s面积为1/3可得
S=1/3=∫(0,x0^2/2) [(y/x0+x0/2)-√(2y)]dy
=x0^3/24
解得x0=2
则切点为(2,2)，切线方程为x=y/2+1
于是
V=∫(0,2) [π(y/2+1)^2-π*2y]dy
=π∫(0,2) (y^2/4+y+1-2y)dy
=2π∫(0,2) (y/2-1)^2d(y/2-1)
=2π/3*(y/2-1)^3|(0,2)
=2π/3

Answer 2

过曲线y=x^2/2(x>=0)某点作切线，与曲线及x轴所围图形s面积为1/3,求此图形s绕y轴旋转一周所得旋转体的体积