若f(x+a)=-f(x);f(x+a)=1/f(x);f(a+x)=-1/f(x);则f(x)是周期函数，周期为_?

Question

谢谢帮忙！！！

Answer 1

周期为2a。
（1）若f(x+a)=-f(x)，则f(x+2a)=f((x+a)+a)=-f(x+a)=f(x),故f(x)是以2a为周期的周期函数。
（2）若f(x+a)=1/f(x)，则f(x+2a)=f((x+a)+a)=1/f(x+a)=1/(1/f(x))=f(x),故f(x)是以2a为周期的周期函数。
（3）若f(x+a)=-1/f(x)，则f(x+2a)=f((x+a)+a)=-1/f(x+a)=-1/(-1/f(x))=f(x),故f(x)是以2a为周期的周期函数。
所以f(x)的周期为2a.
关于抽象函数的题的解法一般都是这个思路，即迭代法，还有一种特别常用的是特殊值试探法

Answer 2

他们的周期都为2a

Answer 3

你好，答案如下：
f(x+a)=-f(x)，f(x+a)=1/f(x)
∴-f(x)=1/f(x)
f(a+x)=-1/f(x)
∴f(x)=f(a+x)
∴周期为|a|