高数问题：无穷大量和无界变量的定义各是什么？ 为什么说无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷

Question

高数问题：无穷大量和无界变量的定义各是什么？
为什么说无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量？

Answer 1

定义1：
如果对于任意给定的正数M，都存在δ>0(或正数X)，
使当0<|x-x0 |<δ<(或|x|>X)时，
“恒有”|f(x)| > M，则称f(x)是x→x0(或x—∞)时的“无穷大量”
.定义2：
如果对于任意给定的正数M，都存在函数定义域中的一点x* ，使|f(x*)| ≥M，则称，f(x)是“无界变量”．
由上述定义可知，如果f(x)是x→x0(或x—∞)时的无穷大量，则f(x)必是无界变量，
反过来，无界变量却不一定是无穷大量.
举例说明：
例如1：数列
1， 1/2， 3， 1/4， ………… ，2n一1， 1/(2n)…………
是无界数列，但却不是无穷大量．
无穷大量要求对任给正数M，数列自某项之后将 均 满足| xn | > M．
显然，上面数列中的偶数项不能满足这一要求．-----------这个才是重点

例如2：变量 x sinx 是无界变量，这是因为对于任意的正数M，都存在
x=π/2 *(2[M取整]+1)＝0.5π + [M取整]π，
使| x * sin (x) |＝[M取整]十π/2 > M
但是，xsinx不是x的任何变化过程中的无穷大量．------------注意是“任何变化过程中”
无论对于某一点x0，因为对任意的x0，x→x0时，极限总不会→∞吧！
也无论是对于x→∞，因为对任意的正数X，都存在一些特殊点x = nπ> X (只要n > X/π)，使得总是有f(x)=xsinx=0．
****************** 总结 ************
无穷大(量)是指在变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势，其绝对值无限增大，要求适合给定不等式0 <| |<δ 或 |x| > M 的“一切”x都要满足 f(x)大于 任给的正数M；而无界函数定义中的不等式f(x)大于M，只要求在 | |中 有一个x满足即可，并不要所有的I都满足．
它们之间的联系是：如果f(x)是无穷大，则f(x)必定无界．反之f(x)无界时，却不一定是无穷大------这家伙要求很高的．

Answer 2

无界变量：设函数的定义域为，如果存在正数，使得，，则称函数在上有界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界．
无穷大量：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当（或）时的无穷大．

Answer 3

这是一个概念问题：
无穷大量：指的是这样一个变量，对于任意的给定的正数M，该变量总大于M。
而无界量：只是说该变量没有界，并不能满足对任意给定的M，均大于M。
可以通过以下例子加深理解：
y=xsinx，在（-∞，+∞）上无界，但不是x→∞时的无穷大。
不知说清楚了没？