微分方程y"-5y'+4y=xe^2x的特解形式是，最好有过程，书上也没找到关于二阶常系数非齐次方程特解的说明，十

Question

如题所述

Answer 1

设特解y=Axe^(2x)+Be^(2x) 代入微分方程，得-2Axe^(2x)-(A+2B)e^(2x)=xe^(2x)
故有A=-1/2，B=1/4
特解为y=-1/2xe^(2x)+1/4e^(2x)追问

谢谢回答，十分详细。答案给的是 特解形式y＊= x (AX+B) e^(2x).
其实我就是想问这个公式是怎么来的

追答

对于二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项f(x)于特解y＊的关系
对于f（x）=p(x)e^（ax）,其中p(x)为x的n 次多项式
若a不是特征根，y＊（x）=R(x)e^(ax),其中R（x）为x的n次多项式；
若a是特征方程的单根，y＊（x）=xR(x)e^(ax);
若a是特征方程的重根，y＊（x）=x^2R(x)e^(ax);
可以参考同济的《高等数学》第6版上册 第七章第8节