设函数y=f(x),对任意实数x,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.（一)求f(0)的值；(二)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的

Question

设函数y=f(x),对任意实数x,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.（一)求f(0)的值；(二)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值（四）在（二）的条件下，猜想f（n）（n属于N正）的表达式，并用数学归纳法加以证明

Answer 1

1. ==> x=0 y=0 f(0+0)=f(0)+f(0)+20*0=f(0)=2f(0) ==>f(0)=0
2.f(2)=f(1)+f(1)+2*1*1=1+1+2=4
f(3)=f(2)+f(1)+2*2*1=4+1+4=9
f(4)=f(3)+f(1)+2*3*1=9+1+6=16
4.f(n)=n^2
（1）当n=1时 f(1)=n^2=1 命题成立
（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立 即 f(k)=k^2
f(k+1)=f(k)+f(1)+2*k*1=k^2+2k+1=(k+1)^2 命题成立
综合（1）（2），对一切自然数n（≥1），命题f(n)都成立。

Answer 2

解：
1、
令x=0 y=0
f(x+y)=f(0)=f(0)+f(0)+0
f(0)=0
2、
令x=1，y=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1=1+1+1=3
令x=2，y=1
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2=3+1+2=6
令x=3，y=1
f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+3=6+1+3=10
3、
猜想：f(n)=1+2+...+n=n(n+1)/2
证：
f(2)=3=1+2
假设当n=k(k∈N，且k≥2)时，有
f(k)=1+2+...+k=k(k+1)/2
则当n=k+1时，
令x=k，y=1
f(k+1)=f(k)+f(1)+k=1+2+...+k+k+1=(k+1)[(k+1)+1]/2
同样满足。
综上，得f(n)=n(n+1)/2

Answer 3

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
f(0+0)=f(0)+f(0)+0
f(0)=0

f(2)=f(1+1)=2f(1)+2=4
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+4=9
f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+6=16

猜想f(n)=n^2
当n=1,f(1)=1^2,等式成立
设n=k,等式成立,即f(k)=k^2
则：f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k^2+2k+1=(k+1)^2,等式成立
所以：f(n)=n^2

Answer 4

令x=y=0，得到f（0）=f(0)+f(0) f（0）=0
令x=y=1，得到f（2）=f(1)+f(1)+2=4
令x=1，y=2得到f（3）=f(1)+f(2)+4=9
令x=2，y=2得到f（4）=f(2)+f(2)+8=16
f（n）=n^2
第一步易证成立，下设f（n-1）=（n-1)^2成立时结论成立
f（n）=f（n-1+1）=f（n-1）+f（1）+2（n-1）=（n-1)^2+1+2（n-1)=n^2
结论成立

Answer 5

解答：
(1)令x=y=0，则：f(0+0)=f(0)+f(0)+2*0*0，则：f(0)=0
(2)f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2*1*1=2+2=4
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2*1*2=1+4+4=9
f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)+2*2*2=4+4+8=16
(3)猜想：f(n)=n^2
证明：
设n=1，则：f(1)=1，成立
设n=k时成立，即：f(k)=k^2
则：f(k+1)=f(k)+f(1)+2*k*1=k^2+1+2k=(k+1)^2
所以：n=k+1时，结论仍成立
所以：对任意的正整数，f(n)=n^2都成立

Answer 6

1) f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)+2*0*0
f(0)=0
2) f(2)=2f(1)+2=4
f(3)=f(1)+f(2)+2*1*2=9
f(4)=f(1)+f(3)+2*1*3=16
3) f(n)=f(1)+f(n-1)+2*1*(n-1)
所以 f(n)-f(n-1)=2n-1
所以 {f(n)-f(n-1)}+{f(n-1)-f(n-2)}+{f(n-2)-f(n-3)}.....+{f(2)-f(1)}={2n-1}+{2(n-1)-1}+{2(n-2)-1}....+{2*2-1}
所以f(n)-f(1)=(3+2n-1)*(n-1)/2 等差数列求和——首项加末项乘以项数除以2
所以f(n)=n^2