已知函数f(x)对任意实数x,y∈R,总有f(x)+f(y)= f(x+y)

Question

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2/3
（1）求证：f（x）在R上是奇函数
（2）求证：f（x）在R上是减函数
（3）求f（x）在【-3，3】上的最大值和最小值.

Answer 1

（1）
f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0,有f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0
再令y=-x有f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)
所以函数是奇函数。
（2）
设x1>x2,即x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因为当x>0时，f(x)<0,所以
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以f(x)是R上的减函数
（3）
因为f(x)在R上是减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，f(x)在[-3，3]上的最小值是f(3)
由题意可知，f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，即f(x)的最小值等于-2
f(-3)=-f(3)=2，即f(x)的最大值等于2

Answer 2

1. 是另令X=0，Y=0 所以2f(0)=f(0) 所以 f（0）=0
令x=-y 所以f(x)+f(-x)=0
所以为 奇函数
2. 当x>0y>0时
f(x)=f(x+y）-f(y)<0
所以在x>0的情况下 单调递减
又因为是奇函数 所以全部是 间函数
3. 因为单调性
所以最大值f(-3)=2
最小值f(3)=-2

Answer 3

（1）
f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0,有f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0
再令y=-x有f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)
所以函数是奇函数。
（2）
设x1>x2,即x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因为当x>0时，f(x)<0,所以
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以f(x)是R上的减函数
（3）
因为f(x)在R上是减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，f(x)在[-3，3]上的最小值是f(3)
由题意可知，f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，即f(x)的最小值等于-2
f(-3)=-f(3)=2，即f(x)的最大值等于2

Answer 4

1、f(x)+f(0)=f(x+0)=f(x)
所以：f(0)= 0
f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0
(1）得证
2、设x>y，则x-y=z>0
f(x)-f(y)=f(z)<0
(2)得证
3、当x=3时f(x)在[-3,3]上取最小值，
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3*f(1)=-2
f(-3)=-f(3)=2为最大值