设a1,a2,...an是一组n维向量，证明：a1,a2,...an线性无关的充要条件是任一n维向量都可被他们线性表出

Question

如题所述

Answer 1

必要性:
a1,a2,...an线性无关
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 对任一n维向量b, (a1,a2,...an)X = b 有解
=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示
充分性:
因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).
所以 a1,a2,...an 线性无关.

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Answer 2

a1,a2,...an与n维基本向量组等价