α1,α2,…αn线性无关,对任向量X
设X=t1 *αdu1+t2 *α2…+tn *αn
它们组成的方程组的系数行列式不为0
故方程组有唯一解
任一n维向量可由它们表示
故它们可以线性表示单位向量
故与单位向量组等价
例如:
证明:
1、充分性显然,因为n+1个n维向量必定线性相关,所以a可由a1,a2,……,an线性表示。
2、必要性:因shu为a是任意n维向量,所以a可由a1,a2,……,an线性表示意味着a1,a2,……,an能表出整个n维空间。若a1,a2,……,an线性相关,则极大线性无关组个数少于n,所以n维空间可由少于n个向量线性表示,这与维数的定义矛盾。
扩展资料:
① 一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。
②线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示;但当其余向量线性无关时,这个向量必可由其余向量线性表示。
零向量可由任一组向量线性表示。
向量组α1,α2,……,αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。
任一n维向量α=(α1,α2,……,αm)都可由n维单位向量组线性表示。
参考资料来源:百度百科-线性表示