求极限 高等数学的极限求解题目，答案已知 现求解答过程。

Question

见下图
limn^2{x^(1/n)-x^[1/(n+1)]} n趋近于无穷大

Answer 1

用麦克劳林公式
a^x=1+lna/1!*x+(lna)^2/2!*x^2+o(x^3)
n趋近于∞时，1/n和1/(n+1)均趋近于0
所以
x^(1/n)=1+lnx*(1/n)+lnx/2*(1/n)^2+o[(1/n)^3]

x^[1/(n+1)]=1+lnx*[1/(n+1)]+lnx/2*[1/(n+1)]^2+o[1/(n+1)^3]

所以
原极限表达式
=lim n^2{1+lnx*(1/n)+lnx/2*(1/n)^2+o[(1/n)^3]-1-lnx*[1/(n+1)]-lnx/2*[1/(n+1)]^2-o[1/(n+1)^3]}
=lim n^2*lnx*[1/n+1/n^2-1/(n+1)-1/(n+1)^2]+n^2*o(1/n^3)-n^2*o[1/(n+1)^2]
=lim lnx*[n+1-n^2/(n+1)-n^2/(n+1)^2]
=lim lnx*[(2n+1)/(n+1)-n^2/(n+1)^2]
=lnx

呼呼，手机打的，好累啊～
希望对楼主有所帮助，望采纳！追问

用等价无穷小能否可行。
1/n 趋于0 时，x^1/n 等价于 lnx(1+1/n）
你看能否可行呢？

Answer 2

允许用Taylor展式吗？
1、当x=0时极限显然是0。
2、当x>0时，lim n^2(e^(lnx/n)--e^(lnx/(n+1))
=lim n^2(1+lnx/n+(lnx/n)^2/2--1--lnx/(n+1)--(lnx/(n+1))^2/2+小o(1/n^2))
=lim lnx*(n/(n+1))+(lnx)^2/2*【1--n^2/(n+1)^2】
=lnx。

Answer 3

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