求解高二含参不等式

Question

不等式ax^2-2x+a<0的解集记为A,
①若(1/2,2)∈A
②若A∈(1/2,2)
求实数a取值范围
最好有过程分析.....

Answer 1

解：Δ=4-4a^2，ax^2-2x+a=0的解为x=[1+√(1-a^2)]/a或[1-√(1-a^2)]/a，
当Δ<0时，有a>1或a<-1，
a>1时，不等式不成立，
a<-1时，不等式恒成立，
当Δ=0时，有a=1或a=-1，
a=1时，不等式不成立，
a=-1时，x≠1/a=-1，
当Δ>0时，有-1<a<1，
0<a<1时，[1-√(1-a^2)]/a<x<[1+√(1-a^2)]/a，
a=0时，x>0，
-1<a<0时，x<[1-√(1-a^2)]/a或x>[1+√(1-a^2)]/a.
①若(1/2,2)∈A

有(i)a<-1时.不等式解集是R,成立
(ii)0<a<1时,[1-根号(1-a^2)]/a<=1/2,2>=[1+根号(1-a^2)]/a
解出a的范围就行了.然后取交集
②若A∈(1/2,2)

那么有0<a<1时,即有1/2<=[1-根号(1-a^2)]/a,[1+根号(1-a^2)]/a<=2
解出a的范围就行了.

Answer 2

①
当a=0时，原式为：
-2x<0==>x>0
A=(0,+∞)
当a≠0时，方程ax^2-2x+a=0 的两根x1,x2
一根不大于1/2,一根不小于2，等价
{f(1/2)≤0
{f(2)≤0
,,,,,,,,,,,,,,,
{(5/4)a-1≤0
{5a-4≤0
,,,,,,,,,,,,
{a≤4/5
{a≤4/5
所以a≤4/5
所以a的取值范围为：
（-∞，4/5]∪{0}

②
因为A是(1/2,2)的子集，
I) 当A为空集时，那么：
{判别式：4-4a²≤0,
{a>0
,,,,,,,,,,
所以a≥1
ii) 当A不为空集时，则方程的两根介于1/2与2之间；此问题等价于：
{f(1/2)≥0
{f(2)≥0
{判别式 4-4a²>0,
{对称轴，1/2＜(1/a)＜2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
{(5/4)a-1≥0
{5a-4≥0
{a²<1
{1/2<a<2
解得：
4/5≤a＜1
i) ii)取并集得：
a≥4/5
所以a的取值范围为：
[4/5,+∞)

Answer 3

解方程ax^2-2x+a=0得
x=(2±√(4-4a^2))/(2a)= (1±√(1-a^2))/a,
∵条件①若(1/2,2)∈A，②若A∈(1/2,2)
∴原不等式的解1/2＜x＜2，即
1/2＜(1±√(1-a^2))/a＜2
1/2a＜1±√(1-a^2)＜2a
1/2a-1＜±√(1-a^2)＜2a-1
以下分两种情况：
第一，1/2a-1＜-√(1-a^2)＜2a-1
1-1/2a＞√(1-a^2)＞1-2a
(1-1/2a)^2＞1-a^2＞(1-2a)^2
1-a+1/4a^2＞1-a^2＞1-4a+4a^2
1-a+5/4a^2＞1＞1-4a+5a^2
-a+5/4a^2＞0＞-4a+5a^2
a(1+5/4 a)＞0＞a(-4+5a)
a＞0时，1+5/4 a＞0＞-4+5a，-4/5＜a＜4/5
a＜0时，1+5/4 a＜0＜-4+5a，a＜-4/5或a＞4/5，此时无解
∴0＜a＜4/5
第二，1/2a-1＜+√(1-a^2)＜2a-1
同上解法，得：无解
∴实数a取值范围为：0＜a＜4/5

Answer 4

第一题
当a=0时，A为正实数集，满足条件。
当a>0,画图，口朝上的抛物线，一个根比1/2小，一个根比2大。f(1/2）<0, f(2)<0, 且对称轴在1/2与2之间。以上三个条件取交集。
当a<0画图，口朝下的抛物线，若判别式小于0，A为实数集，满足。若判别式大于0，两个根都在2右边或者两个根都在1/2左边。以上两种取并集。当两根都在2右边时，只要再加上f(2）<0,对称轴>2即可。两个根都在1/2左边时原理一样。
第二题也是分开口向上和向下。开口向上时别忘记判别式<0，时A为空集也成立。