单调有界数列必有极限，是指数列必须同时有上下届吗，如果只是一侧有界可以吗

Question

如题所述

Answer 1

是，是指同时有上下界。
单调 序列 的话应该就已经说明有一个界了，a1就是它的一个界，比如{an},an=n,a1就是它的下界了。
如果数列单调递增，有上界，就证明它在n趋于正无穷时必有极限。（同时它有a1作为下界）
如果数列单调递减，有下界，就证明它在n趋于正无穷时必有极限。（同时它有a1作为上界）追问

如果是单调函数呢

追答

有界函数的定义是：既有上界又有下界的函数。

但是不能光用有界去解释或判定函数极限
函数极限和序列极限是有些不一样的……
函数极限的话应该是x趋近于某一个数a时（这个a可以是一个常数，也可以是正无穷或负无穷。），函数值趋近于某一个值。好像这个是函数极限的说明。

下面一段是书上原话：
序列的极限只是一般函数极限的特殊情况。事实上，序列是定义在自然数集合上的一种函数，只不过其自变量n的变化是离散的而已。在考虑序列极限时，自变量的变化过程只有一种，即n趋于无穷，记做n→∞。但是我们考察函数y=f(x)的极限时，自变量的变化过程是连续的，并有多种可能性。比如：
x从一点a的右侧趋向于a；x从一点a的左侧趋向于a；x同时从一点a的两侧趋向于a；x无限制地增大；x无限制地减小；x的绝对值无限制的增大……

Answer 2

单调有界则必然同时有上下界。如果单调递增只有下界则还是无界，而有了上界则肯定有下界。

Answer 3

对呀！但是只要求看一边，比如单增的看上界本回答被提问者采纳