高等数学 微积分 单调有界必有极限

Question

若数列{Xn}↑，则{Xn}有极限的<=>是{Xn}有上界;
若数列{Xn}↓，则{Xn}有极限的<=>是{Xn}有下界;
单调数列有极限<=>是{Xn}有界
谁能说明一下这三条 这跟‘单调数列必有极限’ 看起来 很不一样
不好意思 我的问题的最后一行说的是 可不可以用‘单调有界数列必有极限’ 和 ‘有极限数列比有界’这两句话来理解‘单调数列有极限<=>是{Xn}有界’。
对于 前两行 一楼的解释的很明白，谢谢。

Answer 1

数列单调增且有上界，则该数列一定有界（因为它一定有下界为第一项），从而存在极限。
若数列单调减且有下界，则该数列一定有界（因为它一定有上界为第一项），从而存在极限。
因此上面两种情形是“单调数列必有极限”的分情形（或曰更详细）的描述。

有极限的数列一定有界但不一定是单调的数列。

数列有界时不一定是单调的，且不一定存在极限。

Answer 2

解答:

1、单调函数有一般单调与严格单调两种。

一般单调上升函数 = increasing function，就是不减函数，沿着x方向，x逐渐变大时，后一点的函数值，可能比前一点大，可能一样。

一般严格上升函数 = strictly increasing function，就一定是函数值严格增加的函数，沿着x方向，x逐渐变大时，后一点的函数值，一定比前一点大。

一般单调下降函数 = decreasing function，就是不增函数，沿着x方向，x逐渐变大时，后一点的函数值，可能比前一点小，可能一样。

一般严格下降函数 = strictly decreasing function，就一定是函数值严格减小的函数，沿着x方向，x逐渐变大时，后一点的函数值，一定比前一点小。

2、平时所讨论的增函数的性质，一般是讨论严格增函数的性质；
平时所讨论的减函数的性质，一般是讨论严格减函数的性质。

3、严格增函数，又有界，这说明，该函数一直在上升，但又超不出一个固定的
值，在图形上，就是在曲线上升越来越接近一条水平线。随着x的无限增加，
该曲线与直线的距离越来越小，要多小有多小，无止境的小下去，在概念上
我们就说该函数有极限，那条直线 y = a，a就是该函数的极限值。而 y=a
这条直线就称为该曲线的渐近线(asymptote)。

严格减函数的讨论跟上面类似。

4、‘单调数列必有极限’ 这句话错了，当然不一样。
单调数列如果无止境的上升呢？无止境的下降呢？当然就没有极限。
必须改成‘单调有界数列必有极限’ 才对。

楼主如有疑问，欢迎一起讨论。

Answer 3

单调数列有极限<=>是{Xn}有界

我的理解是，在数列单调的大前提下，有极限即有界，有界即有极限。