急！高数题：设f(x)在R上有二阶连续导数,且f(0)=0,x不等于0时,g(x)=f(x)/x；x=0时，g(x)=f'(0)

Question

证g'(x)在R上有一阶连续导数。下面好像是个提示：x不等于0时，g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,x等于0时，g'(x)=1/2f'(0) 时间很紧迫，急求解！！！

Answer 1

应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧？

当x≠0时, g(x)=f(x)/x
∴g'(x) = [xf'(x)-f(x)]/x²
g'(x)在x≠0时连续

x=0时,
g'(0) = lim(x→0) [g(x)-g(0)]/(x-0)
=lim(x→0) [f(x)/x-f'(0)]/x
=lim(x→0) [f(x)-xf'(0)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

又lim(x→0) [xf'(x)-f(x)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

∴lim(x→0) g'(x) =g'(0)
即g'(x)在x=0处连续

综上可得g'(x)在R上连续，即g(x)在R上有一阶连续导数追问

这个我也觉得很奇怪……题目上写的就是证g'(x)

追答

应该是g(x)
因为g'(0)=(1/2)f''(0)
而题设只有f(x)二阶可导，是否三阶可导并不确定
所以g''(0)是否存在不确定

追问

嗯嗯~~那是否一定需要用洛必达法则，可以不用吗？

追答

因为f(x)是隐函数，所以只能用洛必达法则

Answer 2

证明：x不等于0时，g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,
x等于0时，g'(0)=lim(g(x)-g(0))/x=lim(f(x)/x-f'(0))/x
=lim(f(x)-xf'(0))/x^2=lim(f'(x)-f'(0))/2x=1/2f''(0)
x趋于0时，limg'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,=lim(f'(x)+xf''(x)-f('x))/2x=limf''(x)/2=f''(0)/2 =g'(0)
所以：g'(x)在R上连续

Answer 3

应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧？加油 你是最棒的

Answer 4

3