微分问应用题

Question

有个题目需要用到微积分，一个容量400L的盐水其中含盐100kg,纯净水以每分钟2L的速度流入容器，同时容器以相同的流速往外释放盐水，问一小时后，容器里的盐的浓度是多少？（假设在任何时间里，容器内的盐都是均匀分布）

Answer 1

设 t 时刻溶液中的盐质量为 m ,则盐的流失速率为
-dm/dt=(m/ V。)·(dV/dt)
dV/dt指液体交换速率,注意dm/dt为负值. V。指溶液体积400L
因为dV/dt=2L/min为恒量,因此记 dV/(V。·dt)=2L/min·400L=0.005/min 为常量k,化简原式为
dm/dt= -km
即 (1/m)dm=-kdt
两边积分 lnm=-kt+C
C为积分变量,由初始条件 t=0,m=m。=100kg 得出 C=lnm。
故 lnm=-kt+lnm。
即 ln（m/m。）=-kt
故 m=m。·e^(-kt)
代入 t=60min,k=0.005/min 得一小时后溶液中盐的质量为 m=100kg·e^(-0.3)=74.08182206817179
因此浓度为 0.18520455517042947kg/L

Answer 2

1.微分在近似计算中的应用：
要在半径r=1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.01cm的铜,求所需铜的重量W（铜的密度k=8.9g/cm^3）(说明：cm^3后面的3是幂,也就是立方厘米,下面的r^3也是指r的3次方,依此类推）
先求镀层的体积,再乘以密度,便得铜的质量.显然,镀层的体积就是两个球体体积这差.设球的体积为V,则V=f(r)=4πr^3/3 由题意可取r'=1,
△r=0.01 于是,△V≈dV=f'(r')△r=f'(1)*0.01,
而f'(1)=(4πr^3/3)'|r'=4π
所以铜的体积约为dV=f'(1)*0.01=4π*0.01≈0.13(cm^3)
于是镀铜的质量约为dW=kdV≈0.13×8.9≈1.16(g)
2.定积分在物理学中的应用：
根据虎克定律,弹簧的弹力与形变的长度成正比.已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N,求弹簧压缩2cm时所作的功.
由题意,弹簧的弹力为f(x)=kx(k为比例常数）,当x=0.01m时
f(0.01)=k×0.01=1.4×10^4N
由此知k=1.4×10^6,故弹力为f(x)=1.4×10^6x
于是,W=∫上标0.02下标0（1.4×10^6x)dx=1.4×10^6*x^2/2|上标0.02下标0
=280(J),即弹簧压缩2cm时所作的功为280J.