已知n 为一个正整数，且2的n次方减1 是一个质数， 求证n也是质数。

Question

如题所述

Answer 1

2^n-1可写成2进制:11111...1111共n位
用反证法
假设n为合数(n=p*q)
111...111(n位)能整除11..11(P位)
即2^n-1不是质数.
故如2＾n-1是质数，n必为质数

Answer 2

假设所有小于n+1的素数为p1,p2,...,ps
n=3时，命题显然成立
n>3　则p1*p2*...*ps取m＝p1p2*....ps
+1的任何素因子不可能是p1~ps中的一个，因此m要么是素数，要么有大于n的素数因子p
显然：n证毕本回答被提问者采纳

Answer 3

用反证法：
假设n不是质数，则n肯定可以分解为两个大于1的数相乘
设n=a×b（a,b都是大于1的正整数）
则2的n次方减1，就是2的ab次方减1
设m=2的a次方，因为a>1,所以m>2
2的n次方减1，可变换为m的b次方减1
当b为奇数时，
m的b次方减1
=(m-1)(m的b-1次方
-
m的b-2次方
+
m的b-3次方
-……-
m
+
1）
当b为偶数时，
m的b次方减1
=(m-1)(m的b-1次方
-
m的b-2次方
+
m的b-3次方
-……+
m
-
1）
无论b是奇数或者偶数，m的b次方减1
都能被
m-1
整除
上面提到m>2,所以m-1>1
一个能被大于1的数整除的数，肯定不是质数
即2的n次方减1不是质数
这和题意相矛盾，所以假设不成立，n是质数