已知2的P次方与3的P次方之和等于A(正整数)的N次方,P是质数,求证N只能为1

如题所述

推荐答案 2012-02-20

2^p +3^p =A^N
2^4k与3^4k除以5余数均为1
设质数p＝4k+i,　i=1 3
i=1 则原式左边除以5余数同2+3除以5余数＝0
i=3则原式左边除以5 余数同2^3+3^3除以5余数=0
所以p是质数时，原式左边必是5倍数。
如果N大于1,右边必是25的倍数，再考察左边除以25的余数情况。
同样25的欧拉值计算结果＝20,所以2^20k与3^20k除以25余数都是1
设p=20k+i,时则左边除以25的余数与2^i +3^i相同、由于p=4k+0\4k+2即偶数时，左边均不是5倍数。
只需要检查　i=1 3 7 9 11 13 17 19 21 23，2^i +3^i都不是25倍数。
所以p是质数时左边不可能是25倍数，这与P是质数矛盾。
所以N只能＝1

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第1个回答 2012-02-14

首先要知道个引理:如果p|a+b，则a^n+b^n中含因子p的幂次和n相同。先自己证下这个，用因式分解
依题可知5是A的一个质因子。由上面引理知道A中含5的幂次跟p中相同，所以A中因子5的次数是1，即N不能大于1

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