怎么证明如果2的n次方减1是质数,证明n是质数.(反过来怎么证明?)

Question

另外, 如何证明gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)

Answer 1

用反证法可以证明如果2的n次方减1是质数,则n必是质数.

假设n不是质数,则必存在大于1的数a,b,有n=ab,于是

2^n-1=2^(ab)-1=(2^a-1)(2^(a-1)+2^(a-2)b+...+2^(b-1)),这与2^n-1是质数矛盾.

反过来怎么证明?,反过来不正确,即n是质数,2^n-1不一定是质数,举一反例,n=11是质数,但

2^11-1=2047＝23×89

如果为合数

因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

Answer 2

用反证法可以证明如果2的n次方减1是质数,则n必是质数.
假设n不是质数,则必存在大于1的数a,b,有n=ab,于是
2^n-1=2^(ab)-1=(2^a-1)(2^(a-1)+2^(a-2)b+...+2^(b-1)),这与2^n-1是质数矛盾.
反过来怎么证明?,反过来不正确,即n是质数,2^n-1不一定是质数,举一反例,n=11是质数,但
2^11-1=2047＝23×89
不是质数.

gcd(a,b,c)是a,b,c的公约数，故gcd(a,b,c)能整除a,b,c，由于gcd(a,b,c)也是a,b的公约数，gcd(a,b)是a,b的最大公约数，故gcd(a,b,c)能整除gcd(a,b)，gcd(a,b,c)又能整除c，故gcd(a,b,c)是 gcd(a,b)和c的公约数，gcd(gcd(a,b),c)是gcd(a,b)和c的最大公约数，于是gcd(a,b,c)能整除gcd(gcd(a,b),c)。
gcd(gcd(a,b),c) 是gcd(a,b)和c的公约数，故gcd(gcd(a,b),c) 能整除gcd(a,b)和c，由gcd(a,b)是a,b的公约数，故gcd(gcd(a,b),c) 也能整除a,b，故gcd(gcd(a,b),c)是a,b,c的公约数，又gcd(a,b,c)是a,b,c的最大公约数，故gcd(gcd(a,b),c) 能整除gcd(a,b,c)。
gcd(a,b,c)和gcd(gcd(a,b),c)互相能整除，故gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)。本回答被提问者采纳

Answer 3

因为2的n次方都为偶数 又因为偶数减1都为奇数 所以2的n次方减1都为奇数

Answer 4

2^ab-1必有2^a-1和2^b-1因子(a,b为>1正整数)