如何用导数证明函数的单调性？

Question

如题所述

Answer 1

①如果一个函数是以T为周期的周期函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）也以T为周期的周期函数；

②如果一个函数是奇（偶）函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）是偶（奇）函数；

③如果一个函数f(x)是以T为周期的周期函数，那么它的原函数（当然是在f(x)连续的前提下）减去④如果一个函数是奇函数，那么它的原函数（当然是在f(x)连续的前提下）一定是一个偶函数；

④如果一个函数f(x)是一个非零的偶函数，那么在它的所有的原函数（当然是在f(x)连读的前提下）中只有一个是奇函数（这一个奇函数就是∫[0→x]f(x)dt），其他的原函数都是非奇非偶函数（实际上他就是前面那个奇函数，加上一个非零常数

证明①：因为已知f(x+T)=f(x)，所以在等号两边对x求导可得：f'(x+T)=f'(x)，即为所证。

证明②：因为已知f(-x)=-（或+）f(x)，所以在等号两边对x求导可得：

f'(-x)•(-1)=-（或+）f'(x)，即为所证。