怎样用导数判断函数在某个区间上的单调性呢？

Question

如题所述

Answer 1

我们可以按照以下步骤来判断函数在某个区间上的单调性：
第一步，根据题目信息，设函数为f(x)，我们需要判断函数在区间[a,b]上的单调性。
第二步，根据导数的定义，我们知道函数f(x)在x处的导数f′(x)表示函数在该点的切线斜率。如果f′(x)>0，则函数在该点上单调递增；如果f′(x)<0，则函数在该点上单调递减。
第三步，根据第二步，我们可以计算函数在区间[a,b]上的导数。如果导数在区间内始终大于0，则函数在该区间上单调递增；如果导数在区间内始终小于0，则函数在该区间上单调递减。
第四步，为了判断函数在区间[a,b]上的单调性，我们需要在区间的端点a和b处计算函数的导数。如果f′(a)>0且f′(b)>0，则函数在区间[a,b]上单调递增；如果f′(a)<0且f′(b)<0，则函数在区间[a,b]上单调递减。
第五步，需要注意的是，如果函数在某个区间内存在拐点（即导数为0的点），则该点两侧的导数符号可能不同，因此函数在该点处可能发生单调性的变化。
综上所述，我们可以通过计算导数并判断其符号来判断函数在某个区间上的单调性。

Answer 2

在[0，π/2]上，0≦sinx≦1，sinx连续且单调增加，所以必有唯一的一点ξ∈(0，π/2)，使得sinξ=2/π①;在[0，ξ]，sinx≦sinξ，即sinx≦2/π，即sinx-2/π≦0②;另外在[0，ξ]，f(x)≦f(ξ)③;由②、③得f(x)(sinx-2/π)≧f(ξ)(sinx-2/π)④;在[ξ，π/2]上，显然有sinx-sinξ≧0，即sinx-2/π≧0，f(x)≧f(ξ)，所以f(x)(sinx-2/π)≧f(ξ)(sinx-2/π)⑤;由④、⑤可知，在[0，π/2]上，恒有f(x)(sinx-2/π)≧f(ξ)(sinx-2/π)，所以∫(0→π/2)f(x)(sinx-2/π)dx≧∫(0→π/2)f(ξ)(sinx-2/π)dx⑥，在⑥式中，∫(0→π/2)f(ξ)(sinx-2/π)dx=f(ξ)∫(0→π/2)(sinx-2/π)dx=f(ξ)×0=0，所以由⑥得∫(0→π/2)f(x)(sinx-2/π)dx≧0，即∫(0→π/2)f(x)sinxdx≧(2/π)∫(0→π/2)f(x)dx(证毕)。