f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(x-1),则f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=？

Question

f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(x-1),则f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=？

Answer 1

f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(x-1),则f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=？

f(x+1)=f(x-1),

表示这为周期是2的函数

f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=f(1/2)+f(-1/2)+f(1/2)+f(1/2)=3f(1/2)+f(-1/2)

(x)是定义在R上的奇函数，===> f(-x)=-f(x)===> f(x)=-f(-x)

f(1/2)=-f(-1/2)
然后自己会把

Answer 2

由f(x+1)=f(x-1),
f(1/2)=f（-3/2)
f(x)是定义在R上的奇函数
f(-3/2)=-f(3/2)
∴f(1/2)=-f(-3/2)=-f（3/2)
f(x+1)=f(x-1),
f(5/2)=f（1/2)
f(7/2)=f(3/2)=f(-1/2)
f(x)是定义在R上的奇函数
f(-1/2)=-f(1/2)
f(7/2)=-f（1/2)
∴f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=f（1/2)-f（1/2)+f（1/2)-f（1/2)=0

Answer 3

f(x+1)=f(x-1)
f[(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=f(x)，f(x+2)=f(x)
故，f(x)是以2为周期的函数,f(-x)=-f(x)
f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)
＝f(1/2)+f(2-1/2))+f(2+1/2)+f(4-1/2)
＝f(1/2)+f(-1/2))+f(1/2)+f(-1/2)
＝f(1/2)-f(1/2))+f(1/2)-f(1/2)=0

Answer 4

由f(x+1)=f(x-1),可得到f(x)=f(x-2)，即f(x)是周期为2的函数，那么f(3/2)=f(-1/2),f(5/2)=f(1/2),f(7/2)=f(3/2),而函数是奇函数，那么有f(1/2)+f(-1/2)=0,原式=f(1/2)+f(-1/2)+f(1/2)+f(-1/2)=0

Answer 5

f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=f(3/2-1)+f(5/2-1)+f(3/2+1)+f(5/2+1)=2f(3/2-1)+2f(5/2-1)=2f(1/2)+2f(3/2)=2f(1/2)+2f(-1/2)

因为f(x)是奇函数,f(-1/2)=-f(1/2)

所以上式为0.

Answer 6

答案是0
因为f（x+1）=f（x-1）
所以，f（1/2）=f(5/2),f(3/2)=f(7/2)=f(-1/2)=-f(1/2),所以答案就是0咯~