已知函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),则f(1/2)+f(3/2)+f(2/5)+f(7/2) 为多少？？求思路

Question

如题所述

Answer 1

你好
f(x)在定义域R上是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),
所以有f(-x)=-f(x)
即f(x-1)=-f(1-x)=-f(1+x)
即f(x-1)+f(x+1)=0
于是f(1/2)+f(5/2)=0,f(3/2)+f(7/2)=0
所以f(1/2)+f(3/2)+f(2/5)+f(7/2) =0

Answer 2

一楼思路错了，f（x）周期不是2，而是4.
解：
f（x）关于原点对称且关于x=1对称，
f（x）也关于（2,0）点对称，
则f（1/2）+f（7/2）=0，
f（3/2）+f（5/2）=0，
那么f(1/2)+f(3/2)+f(2/5)+f(7/2) =0，
详细证明如下：
y=f(x)在定义域R上是奇函数,
则f(x)=-f(-x)且f(1-x)=f(1+x)，
那么f(2-x)=f[1+(1-x)]=f[1-(1-x)]=f(x)=-f(-x)=-f[1-(x+1)]=-f[1+(x+1)]=-f(2+x)；
即f（x）也关于（2,0）点对称。

Answer 3

有一点错了吧.. 第三个应该是 f(5/2)
奇函数f(0)=0;
由f(1-x)=f(1+x),得f(x)的周期T=2; //这个我记得当时总结的有个规律,但是可以x=1带入
f(1-x)=f(0)=f(1+x)=f(2) 简单一点
所以f(3/2)=-f(1/2) f(7/2)=-f(5/2)
f(1/2)+f(3/2)=0 f(2/5)+f(7/2)=0
f(1/2)+f(3/2)+f(2/5)+f(7/2)=0

Answer 4

f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2) =f(1/2)+f(3/2)+f(3/2+1)+f(5/2+1) =f(1/2)+f(3/2)-f(3/2-1)-f(5/2-1)
=f(1/2)+f(3/2)-f(1/2)-f(3/2)=0
[f(2/5)是不是有误]

Answer 5

首先f(1-x)=f(1+x)，说明f(x)的图像关于x=1对称，又f(x)是奇函数，
所以f(x)是一个周期函数，且周期为2【画图就可以看出来】
f(1/2)=f(2/5)
f(-1/2)=f(3/2)=f(7/2)
又f(1/2)=-f(-1/2)
则原式=0