高中数学，函数零点问题

Question

设f(x)为定义域R上的奇函数,且x>0时f(x)=(1/2)^x,则函数F（x）=f(x)-sinx在区间-π到π上的零点个数

Answer 1

函数F（x）=f(x)-sinx在区间-π到π上的零点个数

即f(x)与sinx的图像的交点个数
而f(x)为定义域R上的奇函数,f(0)=0 且x>0时f(x)=(1/2)^x 有两个交点

则由奇函数的相关性质知x<0时f(x)=-2^x 有两个交点

所以共有5个交点
即函数F（x）=f(x)-sinx在区间-π到π上的零点个数为5

Answer 2

关键是f(x)的解析式。
当x<0时，-x>0,所以f(-x)=(1/2)^(-x), 根据奇函数定义，f(x)=-f(-x)=-(1/2)^(-x)=-2^x
当x=0时，根据奇函数定义，f(x)=-f(-x)，代入x=0，得到f(0)=-f(-0)，所以得到f(0)=0

所以f(x)的解析式为： (1/2)^x （x>0）;
0 (x=0)
-2^x (x<0)

Answer 3

设x>0,-x<0,f(-x)=2^(-x)。
因为是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-2^(-x)

(f^-1)(-1/4)说明-1/4是f(x)的一个函数值，当x<0时，y>0;x>0时,y<0

-2^(-x)=-1/4,x=2

答案：2

Answer 4

零点问题可以转化为数形结合问题，即f(x)-sinx=0,f(x)=sinx.在直角坐标系上画出两个图像，交点即是解，显然，由图像得，在0到派间，交点有两个，那么在负派到0也有两个交点，所以一个有四个交点，即4个零点数，望采纳

Answer 5

画图，5个