为什么f（x）在定义域上是奇函数就一定有f（0）=0???

Question

打差一个字 在定义域“R”上

Answer 1

既然是在定义域R上，那么函数在x=0处也是有定义的

因为奇函数满足f(-x)=-f(x)
将x=0带入得到
f(-0)=-f(0)
得到
f(0)=-f(0)
于是就可以得到
2f(0)=0
f(0)=0

当然，对于在x=0处无定义的奇函数，也就不存在f（0）咯，
这点要特别注意
选择题就喜欢考这个追问

对 我就是想问这个 但在想会不会有这个特例f（0）不等于0  请看图  这个函数不也是奇函数？

 

追答

x=0处，如果两个点都是实的，不是函数
x=0处一实一虚，是函数，不是奇函数，因为在x=0处不满足奇函数的性质。
x=0处两点都是虚的，是函数，也是奇函数。
奇判断奇函数要特别考虑x=0处的情况，这对于初学函数的奇偶性来说是常见的考点和易错点

追问

x=0处，如果两个点都是实的，不是函数 是因为函数定义对吧？

追答

对的，在大学以前不是函数

追问

哦对了  

这个怎么化成两因式相乘

追答

x1x2^2+x1-x1^2x2-x2
=x1x2^2-x1^2x2+x1-x2
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)
=(1-x1x2)(x1-x2)

有其他问题请采纳问题后点求助，谢谢合作啦，答题也有点小辛苦啦O(∩_∩)O~

Answer 2

不一定啊，也可以在x=0这点无定义。
因为f（x）=-f（-x）。如果f（x）在x=0这点有定义。
那么f（-0）=-f（0）
但是-0=0，所以f（-0）=f（0）=-f（0）
所以f（0）=0

你的图形，在x=0这点，有两个函数值对应，不符合函数的定义。所以不正确。

Answer 3

奇函数关于原点对称。

f(-x) = -f(x)
例如：
在定义域R上，
f(-3) = -f(3)
f(-2) = -f(2)
f(-1) = -f(1)

因为，函数过 (0,0) 点。
所以，f(0) = 0 。

Answer 4

看课本 奇函数的定义追问

方便的话直接发一下 谢谢！

Answer 5

f(x)为奇函数，又f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)=0
在(0,+∞)上函数为增函数，又函数为奇函数，所以（-∞，0）上也是增函数。
所以f(x)＞0，x∈(-1,0)∪(1,+∞)
提示：画出大致图像，（-∞，0）∪（0，+∞）函数都为增函数，-1,1等于0.所以明显得出。