函数f(-x)=-f(x) 但是定义域不包含0,是奇函数吗

Question

我记得每次题目说函数是奇函数的时候我们 老师都说必有f(0)=0啊，求懂的解释，不确定或不懂的就不必辛苦了

Answer 1

答：
f(x)=-f(x)如果定义域关于原点对称，就算定义域不包含0，也是奇函数
f(x)=1/x就是定义域不包含0的奇函数。

奇函数有f(0)=0有两种情况：原来的函数本身在x=0处是连续的，就一定有这个结果。
如果f(0)=0是硬性规定的，但在x=0处不连续，也有这种情况出现。
比如f(x)=x，在x=0处本身就是连续的，因此一定有f(0)=0

奇函数的条件：定义域和值域都是关于原点对称的追问

那就是说只要条件说f(x)是奇函数，那就有f(x)=0吗

追答

不是，条件说了f(x)是奇函数，也还要看定义域是否包含x=0
如果包含，则有f(0)=0，如果定义域不包含x=0就不一定

追问

可是为什么我看几乎所有参考书还有老师讲的，只要题目说是奇函数，就直接利用f(0)=0啊？

追答

是因为你现在还处于高中或者初中阶段吧？
到了大学就知道奇函数不一定有f(0)=0了
在初中高中，认识到反比例函数y=1/x是奇函数
也就能认识到f(0)不一定存在的了

追问

谢谢，现在高一，

追答

不客气，祝你学习进步

Answer 2

不一定要包含0,只要定义域关于原点对称即可