已知f（x）=x－（a＋1）×lnx-a/x(a属于R),g(x)=1/2x^2+e^2-xe^x

Question

（1）当x属于［1,e］时，求f(x)的最小值（2）当a<1时，若存在x1属于[e,e^2]，使得对任意x2属于[-2,0]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围

Answer 1

（1）因为f'(x)=(x-a)(x-1)/x²，所以有
当a=1时，f'(x)≥0，所以f(x)在定义区间上递增
当a>1时，由f'(x)>0有1<x<a，所以f(x)在（1，a）上递增，其他区间递减
当a<1时，由f'(x)>0有a<x<1，所以f(x)在（a，1）上递增，其他区间递减
所以
当a=1时，f(x)的最小值为f(1)=1-a；
当a>1时，若a≥e，那么f(x)在(1,e)上递增，此时f(x)的最小值为f(1)=1-a；
若a<e，那么f(x)在(1,a)上递增，(a,e)上递减，此时f(x)的最小值为f(1)和f(e)的最小值，
f(1)=1-a，f(e)=-(a+1)+e-a/e，f(x)的最小值=min{f(1)，f(e)}；
当a<1时，f(x)在（1，e）上递减，此时f(x)的最小值为f(e)=-(a+1)+e-a/e
（2）当a<1时，f(x)在（e，e²）上递减，此时f(x)的最大值为f(e)=-(a+1)+e-a/e