设函数f(u)在(0, ∞)内具有二阶导数，且z=f(√x^2 y^2),f(0)=0, f'(1)=1,

Question

求：1、z对x的二阶偏导数、z对y的二阶偏导数
2、若z对x的二阶偏导数加z对y的二阶偏导数等于0，求函数f(u)的表达式

Answer 1

z=f(√(x^2+y^2))    

u=√(x^2+y^2)  ∂u/∂x=x/u    ∂u/∂y=y/u 

∂z/∂x=f'(u)(x/u)  ∂²z/∂x²=[y²f'(u)+ux²f''(u)]/u^3

∂z/∂y=f'(u)(y/u)  ∂²z/∂y²=[x²f'(u)+uy²f''(u)]/u^3

由[y²f'(u)+ux²f''(u)]/u^3+[x²f'(u)+uy²f''(u)]/u^3=0

即：u²f'(u)+uu²f''(u)=0

f'(u)+uf''(u)=0

这方程可以解了。

追问

u=√(x^2+y^2) ∂u/∂x=x/u ∂u/∂y=y/u 这个没懂 ，不应该是 ∂u/∂x=2x/√(x^2+y^2)吗？

追答

u=√(x^2+y^2) u^2=(x^2+y^2) 2u∂u/∂x=2x ∂u/∂x=x/u

Answer 2

f是一元函数还是二元函数?