设函数f（x）在区间（0，+∞）内具有二阶导数，且满足|f（x）|≦A，|f（x）|≦B,对任何x

Question

设函数f（x）在区间（0，+∞）内具有二阶导数，且满足|f（x）|≦A，|f（x）|≦B,对任何x∈（0,+∞）,证明|f（x）|≦2√（A+B）.

Answer 1

考虑F=f(x)/x F'=(xf'(x)-f(x))/x^2
由泰勒公式：f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+f''(a)(-x)^2/2<f(x)+f'(x)(-x)
即：0<f(x)-xf'(x)
F'<0
当0<a<x<b时恒有F(x)>F(b)
f(x)/x>f(b)/b
即：bf(x)>xf(b)。