已知向量a与b不共线,求证:a+b与a-b不共线

Question

已知向量a与b不共线,求证:a+b与a-b不共线

谢谢.

Answer 1

假设a+b与a-b共线,则存在k,使得a+b=k(a-b)
a+b=ka-kb
b+kb=ka-a
(1+k)b=(k-1)a
b=[(k-1)/(1+k)]a
由此知道,a与b共线
这与已知矛盾,所以假设不成立
a+b与a-b不共线~

Answer 2

设a(x1,y1) b(x2,y2) 若两向量不共线则x1y2-x2y1不等于0

有题可得
a+b(x1+x2,y1+y2) a-b(x1-x2,y1-y2)

向量a+b 乘 向量a-b 等于 2x2y1-2x1y2 由上可知

这两向量相成不为0 所以它们不共线

Answer 3

反证法：若a+b与a-b共线，设a+b=m(a-b)
得b=[(m-1)/(m+1)]a
即a,b共线
命题得证

Answer 4

反证法：设两个共线，可设（a+b）=n（a-b）
得a=（1+n)/(n-1)*b
这与a b不共线矛盾，所以假设不成立
则两者不共线

Answer 5

反证法最简单