如何证明数列是有界的?

Question

如题所述

Answer 1

证明：因为数列{Xn}有界，所以不妨假设|Xn|<M(M>0)，因为数列{Yn}的极限是0，则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|<e/M，于是当n>N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|<M*e/M=e。由于e的任意性，所以数列{XnYn}的极限是0。

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

若数列{Xn}满足:对一切n 有Xn≤M(其中M是与n无关的常数) 称数列{Xn}上有界(有上界)并称M是他的一个上界。

对一切n 有Xn≥m(其中m是与n无关的常数)称数列{Xn}下有界(有下界)并称m是他的一个下界。

一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是:存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。