求曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积 用定积分

Question

如题所述

Answer 1

面积为πa^2。

求解如下：

因为ρ=2acosθ，所以cosθ=ρ/2a>=0

所以θ的取值范围是（-π/2,π/2)

则围成的面积为：

S=∫1/2*ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ

因为积分范围是（-π/2,π/2），所以有：

S=a^2+1/2a^2sin2θ

=a^2*[(0+π/2)-(0-π/2)]

=πa^2

所以曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积为πa^2。

扩展资料：

第二种解法：

将极坐标方程ρ=2acosθ化为参数方程；

由ρ=2acosθ得，ρ^2=2aρcosθ                                         

又∵ρ^2=x^2+y^2，ρcosθ=x                                         

∴(2aρcosθ)^2=(ρcosθ)^2+y^2

化简得：（x﹣a)^2+y^2=a^2

由以上方程可知，极坐标方程ρ=2acosθ表示圆心在(a,0)点，半径为a的圆。

由圆得面积公式：S=πr^2（r为半径），得：

曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积为：S=πa^2。

Answer 2

cosθ=ρ/2a>=0
所以θ范围是（-π/2,π/2)
S=∫1/2*ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ
积分范围是（-π/2,π/2）
故S=a^2(π/2+π/2)=πa^2本回答被提问者采纳

Answer 3

ρ=2acosθ
可化为直角座标形式:x^2+y^2=2ax
即:(x-a)^2+y^2=a^2
它是圆心在(a,0)点,半径为a的圆,所以面积等于πa^2