jensen不等式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

jensen不等式也就是琴生不等式，琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。

琴生不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式，有了它，我们可以推导出其他一些著名不等式，比如幂平均不等式、杨格不等式（Young Inequality），赫尔德不等式（H ölder Inequality），闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）。

关于琴生不等式的结论：

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0，那么f(x)是下凸函数（凸函数）。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0，那么f(x)是上凸函数（凹函数）。

公式应用：(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（t>1时）；(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（0<t<1时）；取f(x) = x^t。((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1*x2*...*xn，取f(x)=log(x)。