证明:设f为R上的可导函数，且f '(x)=0 没有实根，证明:方程f(x)=0至多只有一个实根。

Question

如题所述

Answer 1

用反证法：

假设f（x）=0有两个以上的实数根，则设f（x）=0的两个实数根为x1、x2，且x1＜x2
那么f（x）在闭区间[x1，x2]上有f（x1）=f（x2）=0，f（x）在闭区间[x1，x2]上可导。
所以根据罗尔中值定理，至少存在一个ξ∈(x1，x2)，使得f'(ξ)=0。
这和f'（x）=0无实数根矛盾。
所以f(x)=0至多只有一个实根。追问

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