高数题······这类问题不会

Question

f（x）=x（x+1）（2x+1）（3x-1），则在（-1，0）内方程f ’ （x）=0有几个实根····· 在（-1，1）内f ‘ ’ （x）=0有几个实根 答案都是2个·····

Answer 1

这类问题主要是用罗尔定理来解决。
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f(x)显然连续、可导并且f(0)=f(-1)=f(-1/2)=f(1/3)=0
于是由罗尔定理知方程f'(x)=0分别在(-1,-1/2),(-1/2,0),(0,1/3)内各至少有1个实根
即f'(x)=0至少有3个实根，而f(x)是四次函数，那么f'(x)=0是三次方程，f'(x)=0最多有3个实根
这样f'(x)=0只有3个实根分别在(-1,-1/2),(-1/2,0),(0,1/3)内各有3个实根
故知在(-1,0)内方程f'(x)=0有2个实根。
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由上证得f'(x)=0只有三个实根分别在(-1,-1/2),(-1/2,0),(0,1/3)内各有1个实根
不妨由小到大设这3个根分别是x1,x2,x3，即f'(x1)=f'(x2)=f'(x3)=0
其中-1<x1<-1/2<x2<0<x3<1/3
显然f'(x)连续、可导并且f'(x1)=f'(x2)=f'(x3)=0
于是由罗尔定理知方程f''(x)=0分别在(x1,x2),(x2,x3)内各至少有1个实根
即f''(x)=0至少有2个实根，而f(x)是四次函数，那么f''(x)=0是二次方程，f''(x)=0最多有2个实根
这样f''(x)=0只有2个实根分别在(x1,x2),(x2,x3)内各有1个实根
注意到-1<x1<-1/2<x2<0<x3<1/3<1
故知在(-1,1)内方程f''(x)=0有2个实根。追问

那要是关于求零点问题的······怎么运用呢······

追答

一样的。
f(x)的零点就是方程f(x)=0的根
f'(x)的零点就是方程f'(x)=0的根
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f(x)的驻点就是方程f'(x)=0的根

追问

f(x)的零点有几个·····我觉得是不是··求出 极大值和极小值···· 根据其在x轴上下方的位置来判断 与x轴有几个交点就有几个·····

追答

是的。这在几何直观上可以，证明用下面的方法:
求f(x)的零点运用相应的零点定理（介值定理的特例）
求f'(x)的零点运用相应的罗尔定理

Answer 2

f的根为-1,-1/2,0,1/3；
那么由roll定理，f‘在（-1,-1/2）(-1/2,0),(0,1/3)中各有一个零点。
注意到f’为三次多项式，一共只有三个零点，所以上面就是它的全部零点。
那么在（-1，0）中f ’ （x）=0有两个实根；
注意到f‘的零点都在（-1,1/3）之间，
重复上面的过程，可以知道f‘’只有两个实根，夹在f’的三个零点之间，从而肯定在(-1，1/3)中；