高数：求定积分lim(x趋于0)积分号（0到x）[ln(1+t^3)]/t dt

如题所述

第1个回答推荐于2021-02-02

lim(x->0)∫[0,x](ln(1+t^3))dt/t ∫[0,x]ln(1+t^3)dt/t=(x-0)f'(ζ)
f(x)=∫[0,x][ln(1+t^3)/t]dt, f'(x)=ln(1+x^3) /x
=lim(x,ζ->0) x* [ln(1+ζ^3)/ζ]
=lim(x->0)ln(1+x^3)
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第2个回答 2012-02-24

变上限积分一定是连续函数，因此当x趋于0时，极限就是x＝0时的积分值，也就是0。
ps：是否你漏写了什么？

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定积分lim(x趋于0)积分号(b到x)[ln(1+t^3)]/t dt 的值为0,求b的值答：积分号(b到x)[ln(1+t^3)]/t dt 需要被积函数[ln(1+t^3)]/t不变号，由于积分=0，只能是0区间

limx→0∫ ln(1+t)dt/√1+x^3-1 sinx答：【首先用Taylor公式: x-sinx = x^3/3!+o(x^3) ,e^(x^2) -1= x^2+o(x^2) 】=lim(x->0) {∫[0,x] sintln(1+t)dt-1/3X^3+1/8x^4]} /(x^3/3!+o(x^3))(x^2+o(x^2))【等价无穷小替换：(x^3/3!+o(x^3))(x^2+o(x^2))=(x^5/6+o(x^5)) ~ ...

1/(1+t∧3)在0到x上的定积分答：积分结果为：-1/6*ln(t^2-t+1)+1/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*t-1)*3^(1/2))+1/3*ln(t+1)

lim x→0(∫上x下0ln(1+t)dt)∧2/x∧4答：=lim(x→0)2ln(1+x) ∫(0->x) ln(1+t) dt /(4x^3) (0/0)=lim(x→0)2[( ln(1+x))^2+ (1/(1+x)) ∫(0->x) ln(1+t) dt ] /(12x^2) (0/0)=lim(x→0)2[( 3ln(1+x))/(1+x) - (1/(1+x)^2) ∫(0->x) ln(1+t) dt ] /(24x) ...

...设参数方程式 {x=ln(1+t^3) y=t-arctan t ;确定y是X的函数,求 dy...答：1)dx/dt=3t^2/(1+t^3)dy/dt=1-1/(1+t^2)=t^2/(1+t^2)dy/dx=dy/dt÷dx/dt=(1+t^3)/(3+3t^2)2)lim(x→0)f(x)=lim(x→0)x^3·sin(1/x)=0≠1 所以，f(x)在x=0不连续，所以必不可导。

limx-0ln(1+t)dt上限sin^2x下限0/根号1+x^4-1答：lim(x->0) ∫(0->(sinx)^2) ln(1+t) dt /[√(1+x^4) -1]=lim(x->0) ∫(0->(sinx)^2) ln(1+t) dt / [( 1/2) x^4 ] (0/0)=lim(x->0) (sin2x). ln(1+(sinx)^2 ) / ( 2x^3)=lim(x->0) ln(1+(sinx)^2 ) / ( x^2)=lim(x->...

求极限limx→0 (∫tsintdt)/ln(1+x^3)上限为x,下限为0答：由洛必达法则原式 = lim(x→0) xsinx / [ 3x^2 / (1+x^3) ]= lim(x→0) (1+x^3)sinx / (3x)= 1/3

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