高数，对坐标的曲线积分，求大神

Question

如题所述

Answer 1

直接计算如下：
原式=-∫∫〔1《xx+yy《4〕【e^√xx+yy/√xx+yy】dxdy
=-∫〔0到2π〕dt∫〔1到2〕【e^r】dr
=-2π*(e^2-e)
=2πe(1-e)。

添加z=1(下侧)和z=2(上侧)记为∑1和∑2，然后用高斯公式做。
其中P=Q=0，R=e^z/√xx+yy，
则P'x=Q'y=0，R'z=e^z/√xx+yy。
记添加上下两个面后围成的空间区域为D。
原式=【∫∫∑…+∫∫∑1…+∫∫∑2…】-∫∫∑1…★-∫∫∑2…☆
=∫∫∫〔D〕e^z/√xx+yydv-★-☆①
其中第一个(三重)积分
=∫〔1到2〕e^zdz∫∫〔xx+yy《zz〕1/√xx+yydxdy
=∫〔1到2〕【e^z】dz∫〔0到2π〕dt∫〔0到z〕dr
=2πe^2。
其中第二个(曲面)积分★化成二重积分
=-∫∫〔xx+yy《1〕【e/√xx+yy】dxdy
用极坐标计算
=-∫〔0到2π〕dt∫〔0到1〕【e/r】*rdr
=-2πe。
同理求得其中第三个(曲面)积分☆=4πe^2。
于是得到原式①=2πe^2+2πe-4πe^2=2πe(1-e)。