向量组问题，条件给足了

Question

向量组A=(a1,a2,a3)。a1=(1,0,1)^T，a2=(0,1,1)^T，a3=(1,3,5)^T
向量组B=(b1,b2,b3)。b1=(1,1,1)^T，b2=(1,2,3)^T，b3=(3,4,k)^T。
已知A不能由B线性表示，求k的值。
答案上说：A不能由B线性表示<==>b1,b2,b3线性相关。我看不懂这个。这怎么来的？
跪求讲解

Answer 1

知识点: n个n维向量a1,...,an线性无关
<=>任一n维向量b可由a1,...,an线性表示.
证明:
(=>)必要性
因为a1,...,an线性无关
而 a1,...,an,b 线性相关 (个数大于维数)
所以b可由a1,...,an线性表示
(<=)充分性
由已知,a1,...,an与n维基本向量组ε1,...,εn等价
而等价的向量组秩相同
所以 r(a1,...,an)=r(ε1,...,εn)=n.
所以 a1,...,an 线性无关.
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由已知, A组不能由B组线性表示
B组由3个3维向量构成
故B组线性相关.

但这并非充分必要
即b1,b2,b3线性相关, 由上知识点知, 存在n维向量不能由B组线性表示, 但不能说任一3维向量都不能由B组线性表示.

另: 象这类带参数的题目, 大多能由行列式|B|=0确定参数 (当然还要看具体情况)

Answer 2

因为|A|不等于零，所以向量a1,a2,a3线性无关。所以秩A=3

b1,b2,b3线性无关==>矩阵方程BX=A有唯一解==>A可由B线性表示.
A可由B线性表示==>秩A<=秩B==>秩B＝3==>B是线性无关的.
所以b1,b2,b3线性无关<==>A可由B线性表示
其逆否命题是:
A不能由B线性表示<==>b1,b2,b3相关.本回答被提问者采纳