设函数f(x)在[0,+∞)上有二阶连续导数，且对任意x>=0有f''(x)>=k,其中k>0，为一常数，f(0)<0 证明：f(x)在

Question

证明f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点。
请写出具体的证明步骤谢谢！

Answer 1

由x>=0有f''(x)>=k,其中k>0可知f‘（x）是一次函数 可写成f’（x）=kx+b 其中K大于0
那么f（x）=k*x的平方+bx+c k大于0 是一二次函数开口向上，由f（0） <0可知顶点在 f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点追问

谢谢你的回答，你上面的解答我大体能明白，可这道题目说f''(x)>=k，而不是f''(x)=k啊，能再给我详细说下吗？谢谢。

追答

简单说 f''(x)>=k>0说明f'(x)是增函数 那么f'(x)在[0,+∞)最多有一个零点
假设有 且x=c，那么在（0，c）上f’（x）0，f（x）单调递增所以f（x）有且只有一个零点 在（c，,+∞）上
假设没有那就更好办了 没有的话说明f'(x)在[0,+∞)恒大于零 说明f（x）在[0,+∞)上单调递增，加上f(0)<0必须有且只有一个0点~~
OK不？

Answer 2

证明：对任意的t>=0，有f''(t)>=k>0，两边对t从0积分到x（x>0），得到变上限积分
x
f'(x)-f'(0)≥∫ kdt=kx，于是，对于任意的x>0有f'(x)≥kx+f'(0)成立。
0
也即，对于任意的s>0有f'(s)≥ks+f'(0)成立。两边在对s从0积分到x（x>0），得到变上限积分
x
f(x)-f(0)≥∫ ks+f'(0)=1/2*kx^2+f'(0)*x
0
于是，对于任意的x>0有f(x)≥1/2*kx^2+f'(0)*x+f(0)成立。
当x->+∞时，1/2*kx^2>0且为比f'(0)*x+f(0)更高阶的∞，于是此时有f(x)->+∞。因f(0)<0，由中值定理可知，必存在一正根x0>0，满足f(x0)=0。也即f(x)在(0,+∞)上必有零点。
现证其唯一性。不妨设除正根x0>0满足f(x0)=0，还有一正根x1>x0>0也满足f(x1)=0。于是根据中值定理，必存在x0<x2<x1，使得f'(x2)=0。因x≥0时f''(x)>=k>0，故f'(x)单增，则在x∈(0,x2)上恒有f'(x)<0，则f(x)在x∈(0,x2)上单减，由f(0)<0知在x∈(0,x2)上恒有f(x)<f(0)<0，于是在x∈(0,x2)上f(x)=0无解。这与f(x0)=0矛盾。唯一性得证。本回答被提问者采纳