5.已知随机变量X的概率密度为 f(x)={0. x0 求E(3x)及 D(-2X+1)

Question

如题所述

Answer 1

根据给定的概率密度函数 f(x)={0, x<0 x, 0<=x<=1 0, x>1
首先计算 E(3X)：
E(3X) = ∫(x * 3x) dx，积分区间为[0,1]
= ∫(3x^2) dx，积分区间为[0,1]
= [x^3]的积分，积分区间为[0,1]
= 1^3 - 0^3
= 1
接下来计算 D(-2X+1)：
D(-2X+1) = E((-2X+1)^2) - [E(-2X+1)]^2
计算 E((-2X+1)^2)：
E((-2X+1)^2) = ∫((-2x+1)^2 * f(x)) dx
= ∫((-2x+1)^2 * x) dx，积分区间为[0,1]
将(-2x+1)^2展开为4x^2 - 4x + 1，得到：
E((-2X+1)^2) = ∫((4x^3 - 4x^2 + x) * x) dx，积分区间为[0,1]
= ∫(4x^4 - 4x^3 + x^2) dx，积分区间为[0,1]
= [x^5/5 - x^4 + x^3/3]的积分，积分区间为[0,1]
= (1^5/5 - 1^4 + 1^3/3) - (0^5/5 - 0^4 + 0^3/3)
= 1/5 - 1 + 1/3
计算 [E(-2X+1)]^2：
[E(-2X+1)]^2 = [E(-2X) + E(1)]^2
= [-2E(X) + 1]^2
计算 E(X)：
E(X) = ∫(x * f(x)) dx
= ∫(x^2) dx，积分区间为[0,1]
= [x^3/3]的积分，积分区间为[0,1]
= 1/3
将 E(X) 的值代入 [E(-2X+1)]^2：
[E(-2X+1)]^2 = [-2(1/3) + 1]^2
= [-2/3 + 1]^2
= [1/3]^2
= 1/9
将 E((-2X+1)^2) 和 [E(-2X+1)]^2 的值代入 D(-2X+1)：
D(-2X+1) = (1/5 - 1 + 1/3) - (1/9)
= 3/15 - 5/15 + 5/15 - 1/9
= 3/15 - 5/15 + 15/15 - 5/15
= 13/15
所以，E(3X) = 1，D(-2X+1) = 13/15。