设A，B和C是任意同阶方阵，则有： A~ A ；若A~ B，则 B~ A；若A~ B，B~ C，则A~ C；若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|(5) 若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。 若A~ B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。
相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
扩展资料：
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：
1、求出全部的特征值；
2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；
3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。
1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。
1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。
矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。
日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。
参考资料来源：百度百科——相似矩阵
设A，B和C是任意同阶方阵，则有：
(1) A~ A
(2) 若A~ B，则 B~ A
(3) 若A~ B，B~ C，则A~ C
(4) 若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|
(5) 若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。
(6) 若A~ B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性
无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。
秩相同,
积相同,
相同特征值
对应的线性无关的特征向量个数相同.
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