定义在(-4,4)上的函数f(x),对任意实数x,y∈(-4,4),恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f（x）＜0

Question

（1）求f（0）的值并证明f（x）为奇函数
（2）求证：f（x)在（-4,4）上是减函数
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0

Answer 1

解：令x=y=0代入得f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0；令y=-x得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0，所以f(-x)=-f(x)是奇函数。
（2）设任意x1>x2∈（-4，4），f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)是减函数
（3）f(t-1)<-f(t)=f(-t)所以-4<t<4且-4<t-1<4且t-1>-t解得1/2<t<4

Answer 2

1
令x=y=0
得到f(0)=f(0)+f(0)
得到f(0)=0

令y=-x得到
f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)
且定义域关于y轴对称
所以函数是个奇函数

2

根据f(x+y)=f(x)+f(y)
令u=x+y, v=x
那么f(u)-f(v)=f(u-v)

设-4<x1<x2<4
因为x2-x1>0，且x>0时，f(x)<0
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
即f(x1)>f(x2)
对于任意-4<x1<x2<4，满足f(x1)>f(x2)
所以，函数是个（-4,4）上减函数

3
f(t-1)+f(t)<0
那么f(t-1)<-f(t)=f(-t)
根据减函数，所以
-4<-t<t-1<4
解得1/2<t<4本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

(1)
在定义域内，

f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)，∴ f(0)=0
亦即 f(x-x)=0，
f(x)+f(-x)=0
∴ f(-x)=-f(x)，
∴ f(x)为奇函数

（2）
任给一Δ>0，在（-4,4）上有
f(x+Δ)-f(x)=f(x+Δ)+f(-x)
=f(x+Δ-x)
=f(Δ)<0
∴f（x)在（-4,4）上是减函数

（3）
f(t-1)+f(t)<0
则 f(t)<-f(t-1)
即 f(t)<f(1-t)
而f（x)在（-4,4）上是减函数
∴ t>1-t
t>0.5
结合定义域

0.5<t<4

Answer 4

1,使x=0，y=0.得f（0）=f（0）+f（0）。f（0）=0
当x在区间内使y=-x ， f（x-x）=f（x）+f（-x）。f（0）=f（x）+f（-x），f（0）=0，所以-f（x）=f（-x）所以是奇函数。
2。若有x2=x1+p，p（大于0），fx2=f（x1+p）=f（x1）+f（P）
fx2-fx1=f（p）从题目可得p大于0时，f（P）小于0
所以得证题设。
3.这个没时间做了

Answer 5