设函数f(x)对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)>0且f(1)=3,则f(x)在[-4,4]上是否存在最值

Question

如题所述

Answer 1

a=x+y
y=a-x
所以f(a)-f(x)=f(a-x)
即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)
令x1>x2
x1-x2>0
所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0
所以f(x)在R上是增函数
所以在闭区间有最值

f(4)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=12

x=y=0
得到f(0)=0\
x+y=0
则f(0)=f(x)+f(-x)
奇函数

所以最大f(4)=12
最小f(-4)=-12来自：求助得到的回答

Answer 2

解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴f(x+y)-F(y)=f(x)
设x+y=x1，y=x2，x>0，y>0,则x=x1-x2,x1>x2
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)
∵x1>x2
∴x1-x2>0
∵x>0时，f（x）<0
∴f(x1-x2)<0,即f（x1）-f(x2)<0
∴f(x)在R上位单调递减函数
∴f（x）在[-3，3]上也是减函数
∴fmin（x）=f(3)=f(2)+f（1）=f(1)+f(1)+f(1)=-6
∵f（1+0）=f（1）+f（0）=-2
∴f（0）=0
∴f（0）=f(1-1)=f（1）+f（-1）=0
∵f（1）=-2
∴f（-1）=2
∴fmax (x)=f(-3)=f(-2)+f（-1）=f(-1)+f(-1)+f(-1)=6