若y=f(x)对任意x都有f(x+a)=k/f(x)

Question

已知在实数域R上可导函数y=f(x)对任意实数x1,x2都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),若存在实数a,b,使f(a)≠0且f'(b)>0 求证(1)f(x)>0 （2）f'(x)>0

Answer 1

我来说说自己的证明方法.
证明：
（1）在f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)中令x1=x2=x/2,则有：f(x)=[f(x/2)]^2≥0
下面证明不能取等号,否则假设存在某个实数k使得f(k)=0,那么
f(a)=f(k+a-k)=f(k)f(a-k)=0,与已知条件f(a)≠0矛盾!
从而对任意实数x,都有f(x)>0 .
（2）设c为任意常数,则有：f(c)=f(x+c-x)=f(x)f(c-x),两边同时求导得：
0=f'(x)f(c-x)-f(x)f'(c-x),即：f'(x)f(c-x)=f(x)f'(c-x).
假设存在某个实数t,使得f'(t)≤0,则在f'(x)f(c-x)=f(x)f'(c-x)中令
x=t,c=t+b,代入得：f'(t)f(b)=f(t)f'(b),
注意到等式左边≤0（∵f'(t)≤0,f(b)＞0）,
等式右边＞0（∵f(t)＞0,f’(b)＞0）
于是矛盾!从而对任意实数x,都有f'(x)>0 .证毕!